(1)已知a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),求證:
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y
,指出等號(hào)成立的條件;
(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)f(x)=
2
x
+
9
1-2x
x∈(0,
1
2
)
)的最小值,指出取最小值時(shí)x的值.
分析:(1)利用基本不等式a2+b2≥2ab,乘積一定,和有最小值,等號(hào)成立的條件是兩正數(shù)相等;
(2)利用(1)的結(jié)論,將(2)變形為f(x)=
22
2x
+
32
1-2x
即可.
解答:解:(1)應(yīng)用二元均值不等式,得(
a2
x
+
b2
y
)(x+y)=a2+b2+a2
y
x
+b2
x
y
a2+b2+2
a2
y
x
b2
x
y
=(a+b)2,
a2
x
+
b2
y
(a+b)2
x+y

當(dāng)且僅當(dāng)a2
y
x
=b2
x
y
,即
a
x
=
b
y
時(shí)上式取等號(hào).
(2)由(1)f(x)=
22
2x
+
32
1-2x
(2+3)2
2x+(1-2x)
=25

當(dāng)且僅當(dāng)
2
2x
=
3
1-2x
,即x=
1
5
時(shí)上式取最小值,即[f(x)]min=25.
點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的應(yīng)用,另外給你一種解題工具,讓你應(yīng)用它來解答某一問題,這是近年考試命題的一種新穎的題型之一,很值得讀者深刻反思和領(lǐng)悟當(dāng)中的思維本質(zhì).
練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)已知a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),求證:,指出等號(hào)成立的條件;
(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù))的最小值,指出取最小值時(shí)x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:《第3章 不等式》2006年單元測(cè)試卷(天一中學(xué))(解析版) 題型:解答題

(1)已知a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),求證:,指出等號(hào)成立的條件;
(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù))的最小值,指出取最小值時(shí)x的值.

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(1)已知a,b是正常數(shù),a≠b,x,y∈(0,+∞),求證:,指出等號(hào)成立的條件;
(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù))的最小值,指出取最小值時(shí)x的值.

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