Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²-（a+m）x+alnx在x=1處取得極值，其中a，m∈R．
（1）求m的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，4]上不單調(diào)，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由題設(shè)知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=x-（a+m）+

a

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出m的值．
（2）由（1）得f′（x）=x-（a+1）+

a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想能求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1

2

x²-（a+m）x+alnx，
∴由題設(shè)知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=x-（a+m）+

a

x

，
由f′（1）=0得1-（a+m）+a=0，
解得m=1．
（2）由（1）得f′（x）=x-（a+1）+

a

x

=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-a)(x-1)

x

，
當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）＞0得x＞a或0＜x＜1，
此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞）和（0，1）．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f′（x）＞0得x＞1或0＜x＜a，
此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）和（0，a）．
當(dāng)a≤0時(shí)，由f′（x）＞0得x＞1，此時(shí)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
綜上，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞）和（0，1）；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）和（0，a）；
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[2，4]上不單調(diào)，
∴a的取值范圍是（2，+∞）∪（0，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用．