Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．
（1）求證：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的大��；
（3）求點C到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析：法一：（1）要證AB₁⊥面A₁BD，只需證明直線AB₁垂直面A₁BD內(nèi)的兩條相交直線B₁O、AB₁即可；
（2）設(shè)AB₁與A₁B交于點G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，連接AF，
說明∠AFG為二面角A-A₁D-B的平面角，然后解三角形，求二面角A-A₁D-B的大小；
（3）利用等體積法VA1-BCD=VC-A1BD，求點C到平面A₁BD的距離．
法二：建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量，利用向量的數(shù)量積等于0證明垂直，
（1）求證：AB₁⊥面A₁BD；
向量共線證明平行，向量數(shù)量積求出二面角的大小
（2）求二面角A-A₁D-B的大�。�
距離公式求出距離，解答（3）求點C到平面A₁BD的距離．

解答：證明：法一：（Ⅰ）取BC中點O，連接AO．∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁．
連接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分別為BC，CC₁的中點，∴B₁O⊥BD，∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）設(shè)AB₁與A₁B交于點G，在平面A₁BD中，作GF⊥A₁D于F，連接AF，
由（Ⅰ）得AB₁⊥平面A₁BD．∴AF⊥A₁D，∴∠AFG為二面角A-A₁D-B的平面角．
在△AA₁D中，由等面積法可求得AF=

4 5

5

，
又∵AG=

1

2

AB1=

2

，
∴sin∠AFG=

AG

AF

=

2

4 5 5

=

10

4

．
所以二面角A-A₁D-B的大小為arcsin

10

4

．
（Ⅲ）△A₁BD中，y2+

2

m

=-λ2y2，S_△BCD=1．
在正三棱柱中，A₁到平面BCC₁B₁的距離為=-2-

2

m

•

y1+y2

y1y2

．
設(shè)點C到平面A₁BD的距離為d．
由VA1-BCD=VC-A1BD得

1

3

S△BCD•

3

=

1

3

S△A1BD•d，∴d=

3 S△BCD

S△A1BD

=

2

2

．∴點C到平面C的距離為

2

2

．
法二：（Ⅰ）取BC中點O，連接AO．
∵△ABC為正三角形，
∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥平面BCC₁B₁．
取B₁C₁中點O₁，以O(shè)為原點，

OB

，

OO1

，

OA

的方向為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（1，0，0），D（-1，1，0），A1(0，2，

3

)，A(0，0，

3

)，B₁（1，2，0），
∴

AB1

=(1，2，-

3

)，

BD

=(-2，1，0)，

BA1

=(-1，2，

3

)．
∵

AB1

•

BD

=-2+2+0=0，

AB1

•

BA1

=-1+4-3=0，
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

．
∴AB₁⊥平面A₁BD．

（Ⅱ）設(shè)平面A₁AD的法向量為n=（x，y，z）．

AD

=(-1，1，-

3

)，

AA1

=(0，2，0)．
∵n⊥

AD

，n⊥

AA1

，
∴

n• AD =0 n• AA1 =0

∴

-x+y- 3 z=0 2y=0

∴

y=0 x=- 3 z

令z=1得n=(-

3

，0，1)為平面A₁AD的一個法向量．
由（Ⅰ）知AB₁⊥平面A₁BD，∴

AB1

為平面A₁BD的法向量．cos＜n，

AB1

＞=

n• AB1

|n|•| AB1 |

=

- 3 - 3

2•2 2

=-

6

4

．
∴二面角A-A₁D-B的大小為arccos

6

4

．
（Ⅲ）由（Ⅱ），

AB1

為平面A₁BD法向量，∵

BC

=(-2，0，0)，

AB1

=(1，2，-

3

)．
∴點C到平面A₁BD的距離d=

| BC • AB1 |

| AB1 |

=

|-2|

2 2

=

2

2

．

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．