Question

在平面直角坐標系中，橢圓C：（a＞b＞0），圓O：x²+y²=a²，且過點A（，0）所作圓的兩條切線互相垂直．
（Ⅰ）求橢圓離心率；
（Ⅱ）若直線y=2與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；
（Ⅲ）設點T（0，3）在橢圓內部，若橢圓C上的點到點P的最遠距離不大于5，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由條件：過點A（，0）作圓的兩切線互相垂直，
∴OA=a，即：=a，
∴e=．（3分）
（Ⅱ）∵e=，
∴a²=2c²，a²=2b²，
∴橢圓C：．（5分）
得x²=a²-12，
∴DE=2，
得x²=2b²-24，
∴MN=，（7分）
由DE=2MN，得：a²-12=4（2b²-24），
∴2b²-12=4（2b²-24），
解得：b²=14，a²=28，
∴橢圓方程為：．（9分）
（Ⅲ）∵點T（0，3）在橢圓內部，∴b＞3，
設P（x，y）為橢圓上任一點，則
PT²=x²+（y-3）²=2b²-2y²+（y-3）²
=-（y+3）²+2b²+18，其中，-b＜y＜b，（12分）
∵b＞3，∴-b＜-3，
∴當y=-3時，PT²的最大值2b²+18．（14分）
依題意：PT≤5，∴PT²≤50，
∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，
又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，
∴橢圓C的短軸長的取值范圍6＜b≤8．（16分）
分析：（Ⅰ）由過點A（，0）作圓的兩切線互相垂直，知OA=a，由此能求出橢圓離心率．
（Ⅱ）由e=，知橢圓C：．由得x²=a²-12，所以DE=2，由得x²=2b²-24，所以MN=，由DE=2MN，得：a²-12=4（2b²-24）．由此能求出橢圓方程．
（Ⅲ）由點T（0，3）在橢圓內部，知b＞3．設P（x，y）為橢圓上任一點，則PT²=x²+（y-3）²=2b²-2y²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中，-b＜y＜b．由此入手能夠求出橢圓C的短軸長的取值范圍6＜b≤8．
點評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，求橢圓的短軸長的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，靈活運用橢圓的性質，合理地進行等價轉化．