Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），M是動(dòng)點(diǎn)，且直線MA與直線MB的斜率之積為-，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）過(guò)定點(diǎn)T（-1，0）的動(dòng)直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，若S（-，0），證明：•為定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）（x≠±2）
∵定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，
∴，
∴（x≠±2）
（Ⅱ）證明：當(dāng)動(dòng)直線l的斜率不存在時(shí)，P（-1，），Q（-1，-），若S（-，0），．
當(dāng)動(dòng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立方程組，消去y得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x1+x2=-，x1+x2=
∴=（x₁+），=（x₂+），
∴=（x₁+）•（x₂+）=+=．
分析：（Ⅰ）根據(jù)定點(diǎn)A（-2，0）、B（2，0），直線MA與直線MB的斜率之積為-，建立方程，化簡(jiǎn)可得結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)動(dòng)直線l的斜率不存在時(shí)，P（-1，），Q（-1，-），可得；當(dāng)動(dòng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)動(dòng)直線l的方程聯(lián)立方程組，消去y得一元二次方程，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積運(yùn)算，可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問(wèn)題的探究，解題的關(guān)鍵是用坐標(biāo)表示出，進(jìn)而確定定值．