Question

數列{a_n}中，a₁＝8，a₄＝2，且滿足a_n+2－2a_n+1＋a_n＝0，(n∈N^*)．

①求數列{a_n}的通項公式．

②設b_n＝，(n∈N^*)，S_n＝b₁＋b₂＋…＋b_n，是否存在最大的整數m，使得任意的n均有S_n＞總成立？若存在，求出m，若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵an+2－2an+1＋an＝0 　　∴an+2－an+1＝an+1－an，(n∈N*) 　　∴{an}是等差數列，設公差為d． 　　又∵a1＝8，a4＝a1＋3d＝8＋3d＝2，∴d＝－2． 　　∴an＝－2n＋10 　　(2)bn＝＝＝ 　　∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] 　�。�(1－)＝ 　　假設存在正整數m，滿足Sn＞總成立． 　　又Sn+1－Sn＝－＝＞0 　　∴{Sn}是單調遞增的． 　　∴S1＝為Sn的最小值，故＜ 　　即m＜8． 　　又∵m∈N* 　　∴適合條件的m的最大值為7．