Question

10、正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)F為A₁D的中點(diǎn)．
（1）求證：A₁B∥平面AFC；
（2）求證：平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

Answer 1

分析：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接FO，要證A₁B∥平面AFC，只需證明直線A₁B平行平面AFC內(nèi)的直線FO即可；
（2）要證平面A₁B₁CD⊥平面AFC，只需證明平面A₁B₁CD內(nèi)的直線B₁D垂直平面AFC即可．

解答：證明：（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接FO，
則點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)．
∵點(diǎn)F為A₁D的中點(diǎn)，∴A₁B∥FO．
又A₁B∉平面AFC，F(xiàn)O?平面AFC，
∴A₁B∥平面AFC．

（2）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
連接B₁D．∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∴AC⊥平面B₁BD，AC⊥B₁D．
又∵CD⊥平面A₁ADD₁，AF?平面A₁ADD₁，
∴CD⊥AF．又∵AF⊥A₁D，
∴AF⊥平面A₁B₁CD．
∵AC⊥B₁D，∴B₁D⊥平面AFC．
而B₁D?平面A₁B₁CD，
∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力，是中檔題．