用數(shù)學(xué)歸納法證明:
tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=-n(n≥2,n∈N+).
解析:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=tanα×, 右邊=, 等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)(k≥2,k∈N+)等式成立,即 tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα=-k, 則當(dāng)n=k+1時(shí), tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α =-k+tankα·tan(k+1)α.(*) 因tanα=tan[(k+1)α-kα] �。�,得 tankαtan(k+1)α=. 代入(*)式,得 右邊=-(k+1), 即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=-(k+1). 這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立. 根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)任意n≥2,n∈N+,等式成立. |
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