解:(1)因為橢圓C的焦點為F
1(0,3),∴b
2=a
2+9,則橢圓C的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221834.png)
∵M(x,4)(x>0)橢圓C上一點,△MOF
1的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221835.png)
,∴x=1,∴M(1,4)
代入橢圓C的方程
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221834.png)
,可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221836.png)
∴a
4-8a
2-9=0
∴a
2=9
∴橢圓C的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221837.png)
;
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l存在,設(shè)直線方程為y=4x+m,代入橢圓方程,消去y,可得18x
2+8mx+m
2-18=0
設(shè)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),則x
1+x
2=-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221838.png)
,x
1x
2=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221839.png)
,
因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點,所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/11599.png)
∴x
1x
2+y
1y
2=0.
∴x
1x
2+16x
1x
2+4m(x
1+x
2)+m
2=0
∴17×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221839.png)
-4m×
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221838.png)
+m
2=0
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221840.png)
此時△=64m
2-72(m
2-18)>0
∴直線方程為y=4x
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221841.png)
.
分析:(1)根據(jù)橢圓C的焦點為F
1(0,3),可得橢圓C的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/221834.png)
,利用M(x,4)(x>0)橢圓C上一點,△MOF
1的面積為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/33.png)
,求出M的坐標代入橢圓C的方程,即可確定橢圓C的方程;
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l存在,設(shè)直線方程代入橢圓方程,消去y,可得一元二次方程,利用韋達定理,結(jié)合以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/11599.png)
,即可求得結(jié)論.
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理的運用,確定橢圓方程,正確運用韋達定理是關(guān)鍵.