Question

如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DC=DD₁=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（Ⅰ）設(shè)E是DC的中點(diǎn)，求證：D₁E∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-C₁的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形所給的線段大小之間的關(guān)系，利用線線平行進(jìn)而得到線面平行；
（2）利用圖形中兩兩垂直的線和題中所給的線段的大小，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的知識(shí)求出二面角的大�。�

解答：解：（I）連接BE，則四邊形DABE為正方形，
∴BE=AD=A₁D₁，且BE∥AD∥A₁D₁，
∴四邊形A₁D₁EB為平行四邊形，∴D₁E∥A₁B．
∵D₁E?平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD，
∴D₁E∥平面A₁BD．
（II）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)DA=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C₁（0，2，2），A₁（1，0，2）．
∴

DA1

=(1，0，2)，

DB

=(1，1，0)．
設(shè)

n

=(x，y，z)為平面A₁BD的一個(gè)法向量，
由

n

⊥

DA1

，

n

⊥

DB

得

x+2z=0 x+y=0

取z=1，則

n

=(-2，2，1)
設(shè)

m

=(x1，y1，z1)為平面C₁BD的一個(gè)法向量，
由

m

⊥

DC

，

m

⊥

DB

得

2y1+2z1=0 x1+y1=0

，
取z₁=1，則

m

=(1，-1，1)
∵.cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

-3

9 • 3

=-

3

3

．
由于該二面角A₁-BD-C₁為銳角，
所以所求的二面角A₁-BD-C₁的余弦值為

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了學(xué)生的空間想象能力，還考查了線面平行的判定定理及利用空間直角坐標(biāo)系即向量的知識(shí)求二面角的大�。�