Question

已知函數(shù)f（x）=

ln(x+1)

ax+1

．
（1）當a=1，求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知x，y，z均為正實數(shù)，且x+y+z=1，求證：

(3x-1)ln(x+1)

x-1

+

(3y-1)ln(y+1)

y-1

+

(3z-1)ln(z+1)

z-1

≤0．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導函數(shù)，可得切線的斜率，求出切點的坐標，可得函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；
（2）先確定-1≤a＜0，再根據(jù)函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，構造h（x）=（x+1）ln（x+1）-x，證明h（x）在（0，1）上的值域為（0，2ln2-1），即可求實數(shù)a的取值范圍；
（3）由（2）知，當a=-1時，f（x）=

ln(x+1)

1-x

在（0，1）上單調(diào)遞增，證明（3x-1）f（x）≥（3x-1）•

3

2

ln

4

3

，即

(3x-1)ln(x+1)

x-1

≤（3x-1）•

3

2

ln

4

3

，從而可得結論．

解答： （1）解：當a=1時，f（x）=

ln(x+1)

x+1

，則f（0）=0，
f′（x）=

1-ln(x+1)

(x+1)2

，∴f′（0）=1，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=x；              （3分）
（2）解：∵函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴ax+1=0在（0，1）上無解
當a≥0時，ax+1=0在（0，1）上無解滿足
當a＜0時，只需1+a≥0，∴-1≤a＜0         ①（5分）
f′（x）=

ax+1 x+1 -aln(x+1)

(ax+1)2

∵函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0在（0，1）上恒成立
即a[（x+1）ln（x+1）-x]≤1在（0，1）上恒成立
設h（x）=（x+1）ln（x+1）-x，則h′（x）=ln（x+1），
∵x∈（0，1），
∴h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增
∴h（x）在（0，1）上的值域為（0，2ln2-1）（7分）
∴a≤

1

(x+1)ln(x+1)-x

在（0，1）上恒成立，
∴a≤

1

2ln2-1

  ②
綜合①②得實數(shù)a的取值范圍為[-1，

1

2ln2-1

]（9分）
（3）證明：由（2）知，當a=-1時，f（x）=

ln(x+1)

1-x

在（0，1）上單調(diào)遞增          （10分）
于是當0＜x≤

1

3

時，f（x）=

ln(x+1)

1-x

≤f（

1

3

）=

3

2

ln

4

3

當

1

3

≤x＜1時，f（x）=

ln(x+1)

1-x

≥f（

1

3

）=

3

2

ln

4

3

           （12分）
∴（3x-1）f（x）≥（3x-1）•

3

2

ln

4

3

，即

(3x-1)ln(x+1)

x-1

≤（3x-1）•

3

2

ln

4

3

，
同理有

(3y-1)ln(x+1)

y-1

≤（3y-1）•

3

2

ln

4

3

，

(3z-1)(x+1)

z-1

≤（3z-1）•

3

2

ln

4

3

，
三式相加得：

(3x-1)ln(x+1)

x-1

+

(3y-1)ln(y+1)

y-1

+

(3z-1)ln(z+1)

z-1

≤0．    （14分）

點評：本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，有難度．