Question

2014年8月以“分享青春，共筑未來”為口號(hào)的青奧會(huì)在江蘇南京舉行，為此某商店經(jīng)銷一種青奧會(huì)紀(jì)念徽章，每枚徽章的成本為30元，并且每賣出一枚徽章需向相關(guān)部門上繳a元（a為常數(shù)，2≤a≤5）．設(shè)每枚徽章的售價(jià)為x元（35≤a≤41），根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，日銷售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例．已知當(dāng)每枚徽章的售價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10枚．
（1）求該商店的日利潤(rùn)L（x）與每枚徽章的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每枚徽章的售價(jià)為多少元時(shí)，該商店的日利潤(rùn)L（x）最大？并求出L（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出比例系數(shù)，利用該商店的日利潤(rùn)L（x）等于銷售量與每枚徽章的利潤(rùn)與比例系數(shù)乘積，列出函數(shù)關(guān)系式；
（2）通過x的范圍，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解當(dāng)每枚徽章的售價(jià)為多少元時(shí)，該商店的日利潤(rùn)L（x）最大，然后求出L（x）的最大值．

解答： 解：（1）該商店的日利潤(rùn)L（x）與每枚徽章的售價(jià)x，
日銷售量與e^x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）成反比例．已知當(dāng)每枚徽章的售價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10枚，
比例系數(shù)為：10e⁴⁰．
該商店的日利潤(rùn)L（x）與每枚徽章的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式：L(x)=10e40•

x-30-a

ex

（35≤a≤41）；
（2）當(dāng)35≤x≤40時(shí)，L(x)=10e40•

x-30-a

ex

，L′(x)=10e40•

31+a-x

ex

，4≤a≤6，35≤31+a≤37，
因?yàn)?5≤x≤40，令L′（x）=0得x=a+31
當(dāng)35≤x≤a+31時(shí)L'（x）＞0
當(dāng)a+31≤x≤40時(shí)L'（x）＜0
故L_max（x）=L（a+31）=10e^9-a
當(dāng)40≤x≤50時(shí)，L（x）=（x-30-a）

16000

x2

顯然L（x）在40≤x≤50時(shí)，
L′（x）=

16000(x2-(x-30-a)2x)

x4

=

16000(60+2a-x)

x3

＞0
所以L（x）在40≤x≤50時(shí)為增函數(shù)
故40≤x≤50時(shí)，L_max（x）=L（50）
又L（a+31）=10e^9-a≥10e³
L（50）=

32

5

（20-a）≤

32×16

5

，
故L（a+31）＞L（50）
于是每件產(chǎn)品的售價(jià)x為a+31時(shí)才能使L（x）最大，L（x）的最大值為10e^9-a
綜上，若2≤a≤4，當(dāng)每枚徽章的售價(jià)為35元時(shí)，該商店的日利潤(rùn)L（x）最大，且L(x)max=10(5-a)e5；
若4＜a≤5，當(dāng)每枚徽章的售價(jià)為（a+31）元時(shí)，該商店的日利潤(rùn)L（x）最大，且L(x)max=10e9-a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)數(shù)在最值中的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．難度比較大．