Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=a_n²-na_n+1,n=1,2,3,…,

(1)當(dāng)a₁=2時(shí)，求a₂,a₃,a₄,并由此猜想出a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)a₁≥3時(shí)，證明對(duì)所有的n≥1,有

①a_n≥n+2;

②.

Answer 1

(1)解析：由a₁=2,得a₂=a₁²-a₁+1=3.由a₂=3,得a₃=a₂²-2a₂+1=4.由a₃=4,得a₄=a₃²-3a₃+1=5.由此猜想a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式:a_n=n+1(n≥1).

(2)證明：①用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1,a₁≥3=1+2，不等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k≥k+2,那么a_k+1=a_k(a_k-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1≥(k+1)+2.根據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥1,有a_n≥n+2.

②由a_n+1=a_n(a_n-n)+1及①,對(duì)k≥2,有a_k=a_k-1(a_k-1-k+1)+1≥a_k-1(k-1+2-k+1)+1=2a_k-1+1,…

∴a_k≥2^k-1a₁+2^k-2+…+2+1=2^k-1(a₁+1)-1.于是,k≥2.

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