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某學生對函數f（x）=2x•cosx的性質進行研究，得出如下的結論：
①點（0，0）是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心；
②函數y=f（x）圖象關于y軸對稱；
③函數f（x）在[-π，0]上單調遞增，在[0，π]上也單調遞增；
④存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立．
其中正確的結論是
①④
①④
．
分析：由函數是奇函數可得①正確，②不正確； 由f（
π
3
）＞f（
2π
3
） 可得函數在[0，π]上不是單調遞增函數，故③不正確；由|f（x）|≤2|x|對一切實數x均成立，可得④正確．
解答：解：由于函數f（x）=2x•cosx 滿足 f（-x）=-f（x），故函數是奇函數，故它的圖象過于原點（0，0）對稱，故①正確．
由函數是奇函數，可得②不正確．
由于f（
π
3
）=
π
3
，而 f（
2π
3
）=-
π
6
，∴f（
π
3
）＞f（
2π
3
），故函數在[0，π]上不是單調遞增函數，故③不正確．
由于函數f（x）=2x•cosx≤|2x•cosx|≤|2x|•|cosx|≤2|x|，故存在常數2＞0，使|f（x）|≤2|x|對一切實數x均成立，故④正確．
故答案為 ①④．
點評：本題主要考查余弦函數的奇偶性、單調性、對稱性以及值域，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

某學生對函數f（x）=2xcosx進行研究后，得出如下四個結論：
（1）函數f（x）在[-π，0]上單調遞增，在[0，π]上單調遞減；
（2）存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立；
（3）點(
π2
，0)是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心；
（4）函數y=f（x）圖象關于直線x=π對稱．
其中正確的
 
．（把你認為正確命題的序號都填上）

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科目：高中數學 來源： 題型：

某學生對函數f（x）=xsinx結論：
①函數f（x）在[-
π
2
，
π
2
]單調；
②存在常數M＞0，使f（x）≤M成立；
③函數f（x）在（0，π）上無最小值，但一定有最大值；
④點（π，0）是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心．
其中正確命題的序號是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

某學生對函數f（x）=xsinx進行研究，得出如下四個結論：
①函數f（x）在[-
π
2
，
π
2
]上單調遞增；
②存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立；
③函數f（x）在（0，π）無最小值，但一定有最大值；
④點（π，0）是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心．
其中正確的是（　�。�
A、③B、②③C、②④D、①②④

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•江蘇模擬）某學生對函數f（x）=2x•cosx的性質進行研究，得出如下的結論：
①函數f（x）在[-π，0]上單調遞增，在[0，π]上單調遞減；
②點(
π2
，0)是函數y=f（x）圖象的一個對稱中心；
③函數y=f（x）圖象關于直線x=π對稱；
④存在常數M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立．
其中正確的結論是
④
④
．

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