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11.設函數(shù)f(x)=(2x+a)n,其中n=6\int_0^{\frac{π}{2}}{cosxdx,\frac{f'(0)}{f(0)}}=-12,則f(x)的展開式中x4的系數(shù)為240.

分析 利用定積分求出n的值,再求函數(shù)f(x)的導數(shù),利用\frac{f′(0)}{f(0)}求出a的值,從而求出展開式中含x4項的系數(shù).

解答 解:∵n=6{∫}_{0}^{\frac{π}{2}}cosxdx=6sinx{|}_{0}^{\frac{π}{2}}=6,
∴函數(shù)f(x)=(2x+a)6,
∴f′(x)=12(x+a)5
\frac{f′(0)}{f(0)}=\frac{12{×a}^{5}}{{a}^{6}}=-12,
解得a=-1,
∴f(x)=(2x-1)6展開式中含x4的項為
{C}_{6}^{2}•(2x)6-2•(-1)2=240x4;
它的系數(shù)是240.
故答案為:240.

點評 本題考查了定積分與基本初等函數(shù)的導數(shù)公式以及二項式展開式的應用問題,是中檔題.

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