Question

已知函數(shù)（a＞1），求證：
（1）函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明函數(shù)的單調(diào)性，一個重要的基本的方法就是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義；
（2）對于否定性命題的證明，可用反證法，先假設(shè)方程f（x）=0有負(fù)數(shù)根，經(jīng)過層層推理，最后推出一個矛盾的結(jié)論．
解答：證明：（1）設(shè)-1＜x₁＜x₂，
則
=，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴，∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）假設(shè)x是方程f（x）=0的負(fù)數(shù)根，且x≠-1，則，
即，①
當(dāng)-1＜x＜0時，0＜x+1＜1，∴，
∴，而由a＞1知．∴①式不成立；
當(dāng)x＜-1時，x+1＜0，∴，∴，而．
∴①式不成立．綜上所述，方程f（x）=0沒有負(fù)數(shù)根．
點(diǎn)評：（1）函數(shù)的單調(diào)性就是隨著x的變大，y在變大就是增函數(shù)，y變小就是減函數(shù)，具有這樣的性質(zhì)就說函數(shù)具有單調(diào)性，符號表示：就是定義域內(nèi)的任意取x1，x2，且x1＜x2，比較f（x1），f（x2）的大小 （當(dāng)f（x1）＜f（x2）則是增函數(shù)，當(dāng)f（x1）＞f（x2）則是減函數(shù)）；
（2）方程的根，就是指使方程成立的未知數(shù)的值．對于結(jié)論是否定形式的命題，往往反證法證明．