Question

5．已知點P（2，2），圓C：x²+y²-8x=0，過點P的動直線l與圓C交于A、B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點．
（1）求M的軌跡方程；
（2）當|OP|=|OM|時，求直線l方程及△POM的面積．

Answer 1

分析 （1）圓C的方程可化為（x-4）²+y²=16，由此能求出圓心為C（4，0），半徑為4，設(shè)M（x，y），求出向量CM，MP的坐標，由$\overrightarrow{CM}$$•\overrightarrow{MP}$=0，運用向量的數(shù)量積的坐標表示，化簡整理求出M的軌跡方程；
（2）由（1）知M的軌跡是以點N（3，1）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓．由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，可得ON⊥PM，由直線垂直的條件：斜率之積為-1，再由點斜式方程可得直線l的方程．利用點到直線距離公式結(jié)合已知條件能求出△POM的面積

解答 解：（1）圓C的方程可化為（x-4）²+y²=16，
所以圓心為C（4，0），半徑為4，
設(shè)M（x，y），則$\overrightarrow{CM}$=（x-4，y），$\overrightarrow{MP}$=（2-x，2-y），
由題設(shè)知$\overrightarrow{CM}$$•\overrightarrow{MP}$=0，
故（x-4）（2-x）+y（2-y）=0，
即（x-3）²+（y-1）²=2．
由于點P在圓C的內(nèi)部，
所以M的軌跡方程是（x-3）²+（y-1）²=2．
（2）由（1）可知M的軌跡是以點N（3，1）為圓心，$\sqrt{2}$為半徑的圓．
由于|OP|=|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，
又P在圓N上，從而ON⊥PM．
因為ON的斜率為$\frac{1}{3}$，
所以l的斜率為-3，
故l的方程為y-2=-3（x-2），即為3x+y-8=0．
又|OP|=|OM|=2$\sqrt{2}$，O到l的距離為$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，|PM|=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
所以△POM的面積為$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．