已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,an=3an-1-2an-2(n≥3).
(1)求a3的值;
(2)證明:數(shù)列{an-an-1}(n≥2)是等比數(shù)列;
(3)求數(shù)列{an}的通項公式.
考點:數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定
專題:綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,an=3an-1-2an-2,)求a3的值;
(2)利用等比數(shù)列的定義,構(gòu)造an-an-1=2(an-1-an-2)行證明.
(3)利用(2)可先求an-an-1=2n-1,利用疊加法可得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1,從而可求an
解答: (1)解:∵數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,an=3an-1-2an-2,
∴a3=3×3-2×1=7;
(2)證明:∵an=3an-1-2an-2,∴an-an-1=2(an-1-an-2
∵a1=1,a2=3,∴a2-a1=2≠0
∴{an-an-1}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列.  
(3)解:由(2)得an-an-1=2n-1,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1,…(7分)
=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1.
點評:本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識的綜合運用,考查化歸的數(shù)學思想方法在解題中的運用,考查綜合解題能力.
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