Question

設數(shù)列{a_n}的前n（n∈N^*）項和為S_n，a₁=1，a₂=2，當n＞2時，S_n=a_n+1．
（1）求a_n；（2）求數(shù)列{（S_n-34）a_n}（n∈N^*）最小的項．

Answer 1

解：（1）依題意，n＞3時，
S_n=a_n+1，S_n-1=a_n-1+1，
兩式相減得：
S_n-S_n-1=a_n-a_n-1…（1分），
∴a_n=a_n-a_n-1?…（2分）
所以=×a_n-2=××…×a₃=（3分）
n=3時，S₃=a₃+1，a₁+a₂+a₃=a₃+1，
解得a₃=4…（4分）
所以n＞3時，a_n=2（n-1）…（5分），
而且2（3-1）=4=a₃，2（2-1）=2=a₂，2（1-1）=0≠a₁…（6分），
所以a_n=…（7分）
（2）依題意，（S₁-34）a₁=-33，（S₂-34）a₂=-62
n＞2時，（Sn-34）a_n=2n³-4n²-64n+66…（8分），
作函數(shù)f（x）=2x³-4x²-64x+66，x＞2…（9分）
f′（x）=6x²-8x-64=2（3x+8）（x-4）…（10分），
解得x=4…（11分）
當2＜x＜4時，f′（x）＜0；當x＞4時，f′（x）＞0…（12分）．
所以，f（x）在x=4取得最小值f（4）=-126…（13分），
因為f（4）＜-33且f（4）＜-62，
所以，數(shù)列{（Sn-34）a_n}（n∈N₊）最小的項是（S₄-34）a₄=-126…（14分）．
分析：（1）依題意，n＞3時，S_n=a_n+1，S_n-1=a_n-1+1，兩式相減得：S_n-S_n-1=a_n-a_n-1從而得出數(shù)列a_n的遞推式，再利用累乘的方法即可求出數(shù)列的通項公式；
（2）依題意先得出（Sn-34）a_n=2n³-4n²-64n+66，作函數(shù)f（x）=2x³-4x²-64x+66，x＞2，利用導數(shù)研究其單調性得到f（x）在x=4取得最小值，從而得出數(shù)列{（Sn-34）a_n}（n∈N₊）最小的項．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調性的應用、數(shù)列遞推式、數(shù)列的函數(shù)特性等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．