Question

17．已知ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AD=2，M，N分別為AD，BC的中點，MN=$\sqrt{3}$，現(xiàn)以AD為邊，作兩個正三角形△EAD與△PAD，如圖，其中平面EAD與平面ABCD共面，平面PAD⊥平面ABCD，Q為PE
的中點．
（Ⅰ）求證：平面QAD∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：PE⊥平面PBC；
（Ⅲ）求AE與平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）連接QM，PN，由等腰梯形與等邊三角形的性質可得：三點E，M，N共線．進而得出EM=MN，利用三角形中位線定理可得QM∥PN．QM∥平面PBC．同理可得AD∥平面PBC．即可證明平面QAD∥平面PBC．
（2）連接PM，△PAD是邊長為2的等邊三角形，AM=MD，可得PM=$\sqrt{3}$．可得EM=PM．又EQ=QP，可得PE⊥QM．同理利用等腰三角形的性質可得：EQ⊥AQ．可得PE⊥平面AQD，又平面QAD∥平面PBC，即可證明PE⊥平面PBC．
（3）PM⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，可得PM⊥平面ABCDE．PM⊥MN，AM⊥MN．建立如圖所示的空間直角坐標系M-yxz．設平面EDP的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$．設AE與平面PDE所成角為θ，則sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$，即可得出．

解答 （I）證明：連接QM，PN，由等腰梯形與等邊三角形的性質可得：三點E，M，N共線．
∵△AED是邊長為2的等邊三角形，∴EM=$\sqrt{3}$，∴EM=MN．
又EQ=QP，∴QM∥PN．
∵QM?平面PBC，PN?平面PBC，
∴QM∥平面PBC．
由AD∥BC，同理可得AD∥平面PBC．
∵QM∩AD=M，QM，QD?平面QAD，
∴平面QAD∥平面PBC．
（2）證明：連接PM．
∵△PAD是邊長為2的等邊三角形，AM=MD，
∴PM=$\sqrt{3}$．
又EM=$\sqrt{3}$，∴EM=PM．
又EQ=QP，∴PE⊥QM．
又AP=AE，EQ=QP，∴EQ⊥AQ．
又AQ∩QM=Q，∴PE⊥平面AQD，
又平面QAD∥平面PBC，∴PE⊥平面PBC．
（3）解：∵PM⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PM⊥平面ABCDE．
∴PM⊥MN，又AM⊥MN．
建立如圖所示的空間直角坐標系M-yxz．
則M（0，0，0），A（1，0，0），D（-1，0，0），E（0，-$\sqrt{3}$，0），P（0，0，$\sqrt{3}$）．
∴$\overrightarrow{EP}$=（0，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{DP}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（-1，-$\sqrt{3}$，0）．
設平面EDP的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\\{x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1）．
設AE與平面PDE所成角為θ，則sinθ=|cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AE}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}|}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AE}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴AE與平面PDE所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查了線面平面平行的判定與性質定理、線面面面垂直的判定與性質定理、法向量的應用、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．