Question

設有一樣本x₁，x₂，…，x_n，其標準差為s_x，另有一樣本y₁，y₂，…，y_n，其中y_i=3x_i+2（i=1，2，…，n），其標準差為s_y，求證：s_y=3s_x．

Answer 1

分析：先根據(jù)平均數(shù)的計算公式求出

.

x

、

.

y

的關系，再利用方差的計算公式結(jié)合已知推出公式s_y²與s_x²的關系，進而求出s_y與s_x的關系．

解答：證明：∵

.

x

=

x1+x2+…+xn

n

，
∴

.

y

=

y1+y2+…+yn

n

=

(3x1+2)+(3x2+2)+…+(3x2+2)

n

3(x1+x2+…+xn)+2n

n

=3

.

x

+2．
∴s_y²=

1

n

[（y₁²+y₂²+…+y_n²）-n

.

y

²]
=

1

n

[（3x₁+2）²+（3x₂+2）²+…+（3x_n+2）²-n（3

.

x

+2）²]
=

1

n

[9（x₁²+x₂²+…+x_n²）+12（x₁+x₂+…+x_n）+4n-n（9

.

x

²+12

.

x

+4）]
=

9

n

[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-n

.

x

²]
=9s_x²．
∵s_x≥0，s_y≥0，
∴s_y=3s_x．

點評：本題考查用樣本的平均數(shù)、方差來估計總體的平均數(shù)、方差，屬基礎題，熟練應用樣本的平均數(shù)、方差公式是解答好本題的關鍵．