Question

如圖，矩形AMND所在的平面與直角梯形MBCN所在的平面互相垂直，MB∥NC，MN⊥MB，且MC⊥CB，BC=2，MB=4，DN=3．
（Ⅰ）求證：AB∥平面DNC；
（Ⅱ）求二面角D-BC-N的余弦值．

Answer 1

解：（I）∵MB∥NC，MB?平面DNC，NC?平面DNC，∴MB∥平面DNC．
∵四邊形AMND為矩形，∴MA∥DN．
又∵MA?平面DNC，DN?平面DNC，∴MA∥平面DNC．
∵MA、MB是平面AMB內(nèi)的相交直線，
∴平面AMB∥平面DNC．
又∵AB?平面AMB，∴AB∥平面DNC． …（5分）
（Ⅱ）∵平面AMND⊥平面MBCN，且平面AMND⊥平面MBCN=MN，DN⊥MN，
∴DN⊥平面MBCN，
而MN⊥NC，故以點N為坐標(biāo)原點，NM、NC、ND分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．
由已知得MC=，∠MCN=30°，易得MN=，NC=3．
則D（0，0，3），C（0，3，0），B（，4，0）．
∴=（0，3，-3），=（，1，0）．
設(shè)平面DBC的法向量=（x，y，z），則
，即
令x=-1，則y=z=，可得=（-1，，）．
又∵=（0，0，1）是平面NBC的一個法向量，
∴cos＜，＞==．
故所求二面角D-BC-N的余弦值為．…（12分）
分析：（I）由線面平行判定定理，可分別證出MB∥平面DNC且MA∥平面DNC，結(jié)合面面平行判定定理，得到平面AMB∥平面DNC，結(jié)合AB?平面AMB可得AB∥平面DNC；
（II）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證出DN⊥平面MBCN，從而得到NM、NC、ND兩兩互相垂直，因此以點N為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖．分別得到B、C、D的坐標(biāo)，從而得到向量、的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零建立方程組，解出平面DBC的法向量=（-1，，），結(jié)合=（0，0，1）是平面NBC的一個法向量，運用空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦值為，即得二面角D-BC-N的余弦值．
點評：本題給出特殊的多面體，求證線面平行并求二面角D-BC-N的余弦值．著重考查了空間平行位置關(guān)系的證明和利用向量求面面所成角的方法等知識，屬于中檔題．