已知函數(shù)f(x)=x+
1x

(1)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(2)判斷f(x)在(0,1]上的單調(diào)性并加以證明;
(3)求f(x)的值域.
分析:(1)先求函數(shù)的定義域,然后利用奇偶性進行判斷.(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷.
(3)利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求函數(shù)的值域.
解答:解:(1)因為函數(shù)的定義域為{x|x≠0},關(guān)于原點對稱,
所以f(-x)=-x-
1
x
=-(x+
1
x
)=-f(x)奇函數(shù))  …(3分)
(2)f(x)在(0,1]上的單調(diào)遞減
設(shè)0<x1<x2≤1,
則0<x1x2<1,x1-x2<0
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+(
1
x1
-
1
x2
)
=(x1-x2)+(
x2-x1
x1x2
)
=
(x1-x2)(x1x2-1)
x1x2
>0

即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,1]上的是單調(diào)遞減函數(shù)…(8分)
(3)由(2)同理可證f(x)在[1,+∞)上的是單調(diào)遞增函數(shù),
又f(x)在(0,1]上的是單調(diào)遞減函數(shù),
∴x>0時,f(x)min=f(1)=2.
而f(x)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱
∴x<0時,f(x)max=f(-1)=-2.
所以函數(shù)f(x)的值域為(-∞,-2]∪[2,+∞).…(12分)
點評:本題的考點是考查函數(shù)奇偶性,單調(diào)性和值域的求法,要求熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)和定義.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( �。�
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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