Question

2．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左、右焦點，A₁，A₂，B₁，B₂分別是其左、右、下、上頂點，直線B₁F₂交直線B₂A₂于P點，若P點在以B₁A₂為直徑的圓周上，則橢圓離心率是$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可知：$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$=（a，-b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），由由P點在以B₁A₂為直徑的圓周上，則∠B₁PA₂=90°，則$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=0，根據向量數(shù)量積的坐標表示，求得-ac+b²=0，由橢圓的性質可知：b²=a²-c²，整理得：e²+e-1=0，根據橢圓的離心率的取值范圍，即可求得離心率e的值．

解答 解：根據題意：橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，
則$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$=（a，-b），$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），
由P點在以B₁A₂為直徑的圓周上，
∴∠B₁PA₂=90°，
∴$\overrightarrow{{B}_{2}{A}_{2}}$•$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=0，
∴-ac+b²=0，
由b²=a²-c²，即a²-ac-c²=0，等式兩邊同除以a²，
由e=$\frac{c}{a}$，整理得：e²+e-1=0，
解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
由0＜e＜1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
故答案為：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查向量數(shù)量積的坐標表示，考查計算能力，屬于中檔題．