【題目】如圖，四邊形為正方形，平面，，.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析.（2）

【解析】

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)線面垂直的判斷定理、面面垂直的判定定理，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行證明即可；

（2）利用空間向量夾角公式，結(jié)合平面法向量的求法進(jìn)行求解即可.

如圖，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系.

（1）證明：依題意有，，，

則，，.

所以，.

即，.

故平面.

又平面，

所以平面平面.

（2）依題意有，，.

設(shè)是平面的法向量，則

，即.

因此可取.

設(shè)是平面的法向量，則

，可取，所以.

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品，根據(jù)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關(guān)系式為大于0的常數(shù)).按照某項(xiàng)指標(biāo)測(cè)定，當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時(shí)為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機(jī)抽取6件合格產(chǎn)品，測(cè)得數(shù)據(jù)如下:

尺寸

38

48

58

68

78

88

質(zhì)量

16.8

18.8

20.7

22.4

24

25.5

質(zhì)量與尺寸的比

0.442

0.392

0.367

0.329

0.308

0.290

(I)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件，記為取到優(yōu)等品的件數(shù)，試求隨機(jī)變量的分布列和期望;

(II)根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理，得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:

75.3

24.6

18.3

101.4

(i)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量，求關(guān)于的回歸方程;

(ii)已知優(yōu)等品的收益(單位:千元)與的關(guān)系為，則當(dāng)優(yōu)等品的尺寸為何值時(shí)，收益的預(yù)報(bào)值最大? (精確到0.1)

附:對(duì)于樣本， 其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中的公差不為0．設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，，是數(shù)列的前3項(xiàng)，且．

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t；

（3）構(gòu)造數(shù)列，，，，，，，，，…，，，，…，，…．若該數(shù)列前n項(xiàng)和，求n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(－2,2)，函數(shù)g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．

(1)求函數(shù)g(x)的定義域；

(2)若f(x)是奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞減，求不等式g(x)≤0的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)且是定義域?yàn)?/span>R的奇函數(shù)．

求k值；

若，試判斷函數(shù)單調(diào)性并求使不等式恒成立的t的取值范圍；

若，且在上的最小值為，求m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知曲線， ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線

B. 把上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線

C. 把曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線

D. 把曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把得到的曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到曲線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)有“飄移點(diǎn)”．

Ⅰ試判斷函數(shù)及函數(shù)是否有“飄移點(diǎn)”并說(shuō)明理由；

Ⅱ若函數(shù)有“飄移點(diǎn)”，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車(chē)主必須為機(jī)動(dòng)車(chē)購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車(chē)投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，且保費(fèi)與上一年度車(chē)輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系．發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表：

交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和費(fèi)率浮動(dòng)比率表

浮動(dòng)因素

浮動(dòng)比率

A1

上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮10%

A2

上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮20%

A3

上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮30%

A4

上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

0%

A5

上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮10%

A6

上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮30%

某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車(chē)的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車(chē)齡已滿三年該品牌同型號(hào)私家車(chē)的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：

類(lèi)型

A1

A2

A3

A4

A5

A6

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

(1)求一輛普通6座以下私家車(chē)在第四年續(xù)保時(shí)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的頻率；

(2)某二手車(chē)銷(xiāo)售商專(zhuān)門(mén)銷(xiāo)售這一品牌的二手車(chē)，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車(chē)輛記為事故車(chē)．假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車(chē)虧損5 000元，一輛非事故車(chē)盈利10 000元．且各種投保類(lèi)型的頻率與上述機(jī)構(gòu)調(diào)查的頻率一致，完成下列問(wèn)題：

①若該銷(xiāo)售商店內(nèi)有6輛(車(chē)齡已滿三年)該品牌二手車(chē)，某顧客欲在店內(nèi)隨機(jī)挑選2輛車(chē)，求這2輛車(chē)恰好有一輛為事故車(chē)的概率；

②若該銷(xiāo)售商一次購(gòu)進(jìn)120輛(車(chē)齡已滿三年)該品牌二手車(chē)，求一輛車(chē)盈利的平均值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某快餐代賣(mài)店代售多種類(lèi)型的快餐，深受廣大消費(fèi)者喜愛(ài).其中，種類(lèi)型的快餐每份進(jìn)價(jià)為元，并以每份元的價(jià)格銷(xiāo)售.如果當(dāng)天20:00之前賣(mài)不完，剩余的該種快餐每份以元的價(jià)格作特價(jià)處理，且全部售完.

（1）若該代賣(mài)店每天定制份種類(lèi)型快餐，求種類(lèi)型快餐當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：份，）的函數(shù)解析式；

（2）該代賣(mài)店記錄了一個(gè)月天的種類(lèi)型快餐日需求量（每天20:00之前銷(xiāo)售數(shù)量）

日需求量

天數(shù)

（i）假設(shè)代賣(mài)店在這一個(gè)月內(nèi)每天定制份種類(lèi)型快餐，求這一個(gè)月種類(lèi)型快餐的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)（精確到）；

（ii）若代賣(mài)店每天定制份種類(lèi)型快餐，以天記錄的日需求量的頻率作為日需求量發(fā)生的概率，求種類(lèi)型快餐當(dāng)天的利潤(rùn)不少于元的概率.

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