Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（Ⅰ）證明：CD⊥AE；
（Ⅱ）證明：PD⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE面PAC，故CD⊥AE．
（Ⅱ）證明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中點，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（Ⅰ）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
（Ⅲ）解：過點A作AM⊥PD，垂足為M，連接EM，則（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM，則EM⊥PD，因此∠AME是二面角A﹣PD﹣C的一個平面角．
由已知，得∠CAD=30°．設(shè)AC=a，則PA=a，AD= ，PD= ，AE= ．
在直角△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM×PD=PA×AD，∴AM= ．
在直角△AEM中，AE= ，AM= ，∴EM= a
∴tan∠AME= = ．
所以二面角A﹣PD﹣C的正切值為 ．

【解析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，從而證得CD⊥AE；（Ⅱ）由等腰三角形的底邊中線的性質(zhì)可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE；（Ⅲ）過點A作AM⊥PD，由（Ⅱ）知，AE⊥面PCD，故∠AME是二面角A﹣PD﹣C的一個平面角，用面積法求得AE和AM，從而可求 二面角A﹣PD﹣C的正切值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識點，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題．