Question

如圖：在三棱錐P-ABC中，PB⊥面ABC，△ABC是直角三角形，∠B=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，點(diǎn)D、E、F分別為AC、AB、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥PD；
（Ⅱ）求直線PF與平面PBD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角E-PF-B的正切值．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）因?yàn)镋F∥AC，故只要證PD⊥AC，由三垂線定理可證；
（Ⅱ）因?yàn)槊鍼BD⊥面ABC，故只需過(guò)電F作BD的垂線，因?yàn)镋F⊥BD，交點(diǎn)為O，則∴∠FPO為直線PF與平面PBD所成的角，求解即可．
（Ⅲ）由EB⊥面PBC，故可有三垂線定理法作出二面角的平面角．過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PF于點(diǎn)F，連接EM，則∠EMB為二面角E-PF-B的平面角
再在△EBM中求解即可．
解法二：（向量法）因?yàn)锽A、BC、BP兩兩垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．
（Ⅰ）只要證

EF

•

PD

=0即可
（Ⅱ）求出平面PBD的法向量，法向量和

PF

夾角的余弦的絕對(duì)值即為直線PF與平面PBD所成的角的正弦值．
（Ⅲ）分別求出兩個(gè)面的法向量，再由夾角公式求二面角的余弦值，再求正切．

解答：解：法一
（Ⅰ）連接BD、在△ABC中，∠B=90°．
∵AB=BC，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC．
又∵PB⊥面ABC，即BD為PD在平面ABC內(nèi)的射影，
∴PD⊥AC．
∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC，
∴EF⊥PD．

（Ⅱ）∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥EF．
連接BD交EF于點(diǎn)O，∵EF⊥PB，EF⊥PD，∴EF⊥平面PBD，
∴∠FPO為直線PF與平面PBD所成的角，EF⊥PO．
．∵PB⊥面ABC，∴PB⊥AB，PB⊥BC，又∵∠PAB=45°，
∴PB=AB=2．∵OF=

1

4

AC=

2

2

，∴PF=

PB2+BF2

=

5

，
∴在Rt△FPO中，sin∠FPO=

OF

PF

=

10

10

，∴∠FPO=arcsin

10

10

．
（Ⅲ）過(guò)點(diǎn)B作BM⊥PF于點(diǎn)F，連接EM，∵AB⊥PB，AB⊥BC，
∴AB⊥平面PBC，即BM為EM在平面PBC內(nèi)的射影，
∴EM⊥PF，∴∠EMB為二面角E-PF-B的平面角．
∵Rt△PBF中，BM=

PB•BF

PF

=

2

5

，∴tan∠EMB=

EB

BM

=

5

2

．

法二：建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，如圖，
則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），
E（1，0，0），F(xiàn)（0，1，0），P（0，0，2）．
（Ⅰ）∵

EF

=(-1，1，0)，

PD

=(1，1，-2)，
∴

EF

•

PD

=-1+1=0∴EF⊥PD．
（Ⅱ）由已知可得，

EF

=(-1，1，0)為平面PBD的法向量，

PF

=(0，1，-2)，∴cos＜

PF

，

EF

＞=

PF • EF

| PF |•| EF |

=

1

10

=

10

10

，
∴直線PF與面PBD所成角的正弦值為

10

10

．
∴直線PF與面PBD所成的角為arcsin

10

10

．

（Ⅲ）設(shè)平面PEF的一個(gè)法向量為a=（x，y，z），
∵

EF

=(-1，1，0)，

PF

=(0，1，-2)
∴a•

EF

=-x+y=0，a•

PF

=y-2z=0，令z=1，∴a=（2，2，1）
由已知可得，向量

BA

=(2，0，0)為平面PBF的一個(gè)法向量，
∴cos＜a，

BA

＞=

a• BA

|a|•| BA |

=

4

3×2

=

2

3

，∴tan＜a，

BA

＞=

5

2

．
∴二面角E-PF-B的正切值為

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間的位置關(guān)系的證明和空間角：線面角和二面角的計(jì)算，考查空間想象能力可運(yùn)算能力．