Question

數列a_n中，a₁=2，a_n+1=a_n+cⁿ（c＞0，c≠1，n∈N*，），且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數列．
（1）求c的值；
（2）求a_n的通項公式．
（3）求數列na_n的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+c+c²
∵a₂²=a₁a₃
∴（2+c）²=2（2+c+c²）
解得c=0（舍去）或c=2
∴c=2

（2）由（1）知a_n+1-a_n=2ⁿ
∴當n≥2時
a_n=（a_n-a_n-1）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2++2¹+2
=
當n=1時，也符合，所以a_n=2ⁿ．

（3）na_n=n•2ⁿ
∴S_n=1•2¹+2•2²++（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ（1）
2S_n=1•2²+2•2³++（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹（2）
（1）-（2）：
-S_n=2+2²++2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹
分析：（1）根據題設遞推式，分別求得a₁，a₂，a₃，根據等比中項的性質可知a₂²=a₁a₃，求得q．
（2）利用題設中的遞推式，采用疊加法求得數列的通項公式．
（3）由于數列{na_n}由等比和等差數列構成，進而采用錯位相減法求得數列的前n項的和．
點評：本題主要考查了數列的求和問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．