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精英家教網如圖,已知AB圓O的直徑,C、D是圓O上的兩個點,CE⊥AB于E,BD交AC于G,交CE于F,CF=FG.
(Ⅰ)求證:C是劣弧BD的中點;
(Ⅱ)求證:BF=FG.
分析:(I)要證明C是劣弧BD的中點,即證明弧BC與弧CD相等,即證明∠CAB=∠DAC,根據已知中CF=FG,AB是圓O的直徑,CE⊥AB于E,我們易根據同角的余角相等,得到結論.
(II)由已知及(I)的結論,我們易證明△BFC及△GFC均為等腰三角形,即CF=BF,CF=GF,進而得到結論.
解答:解:(I)∵CF=FG
∴∠CGF=∠FCG
∴AB圓O的直徑
∠ACB=∠ADB=
π
2

∵CE⊥AB
∠CEA=
π
2

∠CBA=
π
2
-∠CAB,∠ACE=
π
2
-∠CAB

∴∠CBA=∠ACE
∵∠CGF=∠DGA
∠DGA=∠ABC∴
π
2
-∠DGA=
π
2
-∠ABC

∴∠CAB=∠DAC
∴C為劣弧BD的中點(5分)
(II)∵∠GBC=
π
2
-∠CGB,∠FCB=
π
2
-∠GCF

∴∠GBC=∠FCB
∴CF=FB
同理可證:CF=GF
∴BF=FG(10分)
點評:本題考查的知識點圓周角定理及其推理,同(等)角的余角相等,其中根據AB是圓O的直徑,CE⊥AB于E,找出要證明相等的角所在的直角三角形,是解答本題的關鍵.
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