分析:(1)由a
n+1=S
n+3n+1和a
n=S
n-1+3(n-1)+1相減得a
n+1-a
n=a
n+3,即n≥2時,a
n+1=2a
n+3,兩邊同時加上3,構(gòu)造一個等比數(shù)列{a
n+3},求出該等比數(shù)列的通項公式,即可求得數(shù)列{a
n}的通項公式;
(2)把(1)求得結(jié)果代入b
n=
1,利用裂項相消法即可求得數(shù)列{b
n}的前n項和為T
n,解此不等式
-T
n<
即可求得結(jié)果.
解答:解:(1)∵a
1=1,a
n+1=S
n+3n+1(n∈N
*),①
∴當n≥2時,a
n=S
n-1+3(n-1)+1②
①-②得a
n+1-a
n=a
n+3,即n≥2時,a
n+1=2a
n+3,
又a
2=S
1+4=5=2a
1+3,故對一切正整數(shù)n,a
n+1=2a
n+3,
則有a
n+1+3=2(a
n+3),所以數(shù)列{a
n+3}是公比為2,首項為a
1+3=4的等比數(shù)列,
故a
n+3=4•2
n-1,
∴a
n=2
n+1-3(n∈N
*).
(2)b
n=
1=
•
1=
•
2=
(
1-3-
2-3),
故T
n=b
1+b
2+…+b
n=
[(
-
)+(
-
)+…+(
1-3-
2-3)]
=
×(
-
2-3)=
-
3-6,
故
-T
n=
3-6<
,即2
n+3>2016,故只要n+3≥11,即n≥8,
故所求的最小正整數(shù)n的值為8.
點評:本題主要考查數(shù)列求和的知識點,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)an=sn-sn-1即可求出數(shù)列{an}的通項公式,還要熟練掌握裂項相消法求和,數(shù)列是高考的?碱},需要同學(xué)們熟練掌握,屬中檔題.