Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，a_n+1=S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

2n

anan_+

1，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使不等式

1

2

-T_n＜

1

2010

成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=S_n+3n+1和a_n=S_n-1+3（n-1）+1相減得a_n+1-a_n=a_n+3，即n≥2時，a_n+1=2a_n+3，兩邊同時加上3，構(gòu)造一個等比數(shù)列{a_n+3}，求出該等比數(shù)列的通項公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）把（1）求得結(jié)果代入b_n=

2n

anan_+

1，利用裂項相消法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，解此不等式

1

2

-T_n＜

1

2010

即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=S_n+3n+1（n∈N^*），①
∴當n≥2時，a_n=S_n-1+3（n-1）+1②
①-②得a_n+1-a_n=a_n+3，即n≥2時，a_n+1=2a_n+3，
又a₂=S₁+4=5=2a₁+3，故對一切正整數(shù)n，a_n+1=2a_n+3，
則有a_n+1+3=2（a_n+3），所以數(shù)列{a_n+3}是公比為2，首項為a₁+3=4的等比數(shù)列，
故a_n+3=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3（n∈N^*）．
（2）b_n=

2n

anan_+

1=

1

2

•

2n^+

^

1=

1

2

•

(2n^+

^

2=

1

2

（

1

2n^+

1-3-

1

2n^+

2-3），
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（

1

22-3

-

1

23-3

）+（

1

23-3

-

1

24-3

）+…+（

1

2n^+

1-3-

1

2n^+

2-3）]
=

1

2

×（

1

22-3

-

1

2n^+

2-3）=

1

2

-

1

2n^+

3-6，
故

1

2

-T_n=

1

2n^+

3-6＜

1

2010

，即2ⁿ⁺³＞2016，故只要n+3≥11，即n≥8，
故所求的最小正整數(shù)n的值為8．

點評：本題主要考查數(shù)列求和的知識點，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)a_n=s_n-s_n-1即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式，還要熟練掌握裂項相消法求和，數(shù)列是高考的�？碱}，需要同學(xué)們熟練掌握，屬中檔題．