已知橢圓＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F作傾斜角為135°的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，且直線AB與OM的夾角為，且tan＝3，求這個(gè)橢圓離心率．

答案：
解析：

　　解：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則＝1，＝1，兩式相減可得KAB＝＝＝－1，所以，又kOM＝＝1－e2，而||＝tan＝3，故kOM＝或kOM＝2(∵a＞b，，∴kOM＝2舍去)，所以1－e2＝，e＝為所求．

　　分析：本題先根據(jù)題意求出直線AB的斜率，再依據(jù)直線與橢圓的方程聯(lián)立消去其中一個(gè)未知數(shù)，找到相應(yīng)的兩個(gè)交點(diǎn)A、B的橫(或縱)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而表示出相應(yīng)的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而將問題解決．


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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：013

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，則雙曲線＝1的離心率為

[　　]

A．
B．
C．
D．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年高考數(shù)學(xué)理科(四川卷) 題型：044

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率e＝，右準(zhǔn)線方程為x＝2．

(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)F1的直線l與該橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年河北省高三3月月考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(1，)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2.點(diǎn)P為直線l：x＋y＝2上且不在x軸上的任意一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2.

(ⅰ)證明：＝2.

(ⅱ)問直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA、OB、OC、OD的斜率kOA、kOB、kOC、kOD滿足kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝0？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(＋1)，一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D.

(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，證明：k1·k2＝1；

(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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