Question

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，B為橢圓的上頂點(diǎn)且△BF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△BMN的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明由..

Answer 1

解：（1）∵橢圓（a＞b＞0）的離心率為，∴①
∵△BF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2，∴②
由①②可得，∴
∴橢圓的方程為；
（2）假設(shè)存在直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△BMN的垂心
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∵B（0，1），F(xiàn)₂（，0），∴k_MF2=-，∴k_MN=
設(shè)l的方程為y=，代入消元可得13x²+8mx+4（m²-1）=0
∴x₁+x₂=-，③
∵，，
∴==4x₁x₂+④
③代入④，可得4×-
∴（m-1）（5m+16）=0
∴m=1，或m=-
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m=1時(shí)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，不能構(gòu)成三角形，故舍去
∴存在直線l：滿足條件．
分析：（1）根據(jù)橢圓（a＞b＞0）的離心率為，可得，利用△BF₁F₂的周長(zhǎng)為4+2，可得，由此可求橢圓的方程；
（2）假設(shè)存在直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，且橢圓右焦點(diǎn)F₂恰為△BMN的垂心，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），確定k_MN=設(shè)l的方程為y=，代入，利用，，，即可求得滿足條件的直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，聯(lián)立方程，利用數(shù)量積為0是解題的關(guān)鍵．