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如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB=1,BM⊥PD,垂足為M.
(1)求證:AM⊥PD;
(2)求直線CD與平面ACM所成角的余弦值.

(1)證明:∵PA⊥平面ABCD,AB?平面ABCD
∴PA⊥AB
又AB⊥AD,AD∩PA=A,AD?平面PAD,PA?平面PAD
∴AB⊥平面PAD
∵PD?平面PAD,∴AB⊥PD…(3分)
∵BM⊥PD,AB?平面ABM,AB∩BM=B
∴PD⊥平面ABM
∵AM?平面ABM,∴AM⊥PD….(6分)
(2)解:如圖,以點(diǎn)A為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz…(7分)
則 A(0,0,0),P(0,0,2),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),M(0,1,1)

設(shè)平面ACM的一個(gè)法向量為
,可得,令z=1,得x=2,y=-1,∴…(10分)
設(shè)直線CD與平面ACM所成角為θ,

,即直線CD與平面ACM所成角的余弦值為…(13分)
分析:(1)證明AM⊥PD,只需證明PD⊥平面ABM,利用AB⊥PD,BM⊥PD可證;
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求得平面ACM的一個(gè)法向量,利用向量的夾角公式,即可求得線CD與平面ACM所成角的余弦值.
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直、線線垂直,考查線面角,考查利用向量知識(shí)解決立體幾何問題,解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系,正確運(yùn)用向量的夾角公式,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形,且垂直于底面ABCD,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,M為PC上一點(diǎn),且PA∥平面BDM.
(1)求證:M為PC中點(diǎn);
(2)求平面ABCD與平面PBC所成的銳二面角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.
(1)求證:CM∥平面PAD;
(2)點(diǎn)C到平面PAD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•廣東)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E在線段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)證明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E為PC的中點(diǎn).
求證:
(1)PA∥平面BDE;
(2)AC⊥平面PBD.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2AB=2,M為PD上的點(diǎn),若PD⊥平面MAB
(I)求證:M為PD的中點(diǎn);
(II)求二面角A-BM-C的大�。�

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