已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左右焦點(diǎn)，l是右準(zhǔn)線，若橢圓上存在點(diǎn)P，使|PF1|是P到直線l的距離的2倍，則橢圓離心率的取值范圍是
 
．
分析：設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，根據(jù)橢圓的定義可知|PF2|比d的值等于c比a的值，由題意知|PF1|等于2d，且|PF1|+|PF2|=2a，聯(lián)立化簡(jiǎn)得到：|PF1|等于一個(gè)關(guān)于a與c的關(guān)系式，又|PF1|大于等于a-c，小于等于a+c，列出關(guān)于a與c的不等式，求出不等式的解集即可得到
c
a
的范圍，即為離心率e的范圍，同時(shí)考慮e小于1，從而得到此橢圓離心率的范圍．
解答：解：設(shè)P到直線l的距離為d，
根據(jù)橢圓的第二定義得
|PF2|
d
=e=
c
a
，|PF1|=2d，且|PF1|+|PF2|=2a，
則|PF1|=2a-|PF2|=2a-
dc
a
=2d，即d=
2a2
2a+c
，
而|PF1|∈（a-c，a+c]，即2d=
4a2
2a+c
，
所以得到
4a2
2a+c
≥a-c①
4a2
2a+c
≤a+c②
，由①得：(
c
a
)2+
c
a
+2≥0，
c
a
為任意實(shí)數(shù)；
由②得：(
c
a
)2+3
c
a
-2≥0，解得
c
a
≥
-3+
17
2
或
c
a
≤
-3-
17
2
（舍去），
所以不等式的解集為：
c
a
≥
-3+
17
2
，即離心率e≥
-3+
17
2
，又e＜1，
所以橢圓離心率的取值范圍是[
-3+
17
2
，1）．
故答案為：[
-3+
17
2
，1）
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握橢圓的定義及橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的運(yùn)用，是一道中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N（均不是長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F（-c，0）是長(zhǎng)軸的一個(gè)四等分點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點(diǎn)，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點(diǎn)D到兩焦點(diǎn)的距離之和為4，直線l⊥x軸時(shí)，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時(shí)，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過(guò)右焦點(diǎn)做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且兩交點(diǎn)與橢圓的左焦點(diǎn)及右頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)M（0，2），直線l：y=1，過(guò)M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若N為AB的中點(diǎn)，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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