Question

已知f（x）=

1+lnx

x-1

，g（x）=

k

x

（k∈N^*），對任意的c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b），則k的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對?c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，可化為x＞1時(shí)，g（x）的圖象始終在f（x）的圖象的下方，從而作圖解得．

解答： 解：當(dāng)k=1時(shí)，作函數(shù)f（x）=

1+lnx

x-1

，與g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的圖象如下，

k=1，對?c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正確；
當(dāng)k=2時(shí)，作函數(shù)f（x）=

1+lnx

x-1

，與g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的圖象如下，

k=2，對?c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正確；
當(dāng)k=3時(shí)，作函數(shù)f（x）=

1+lnx

x-1

，與g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的圖象如下，

k=3時(shí)，對?c＞1，存在實(shí)數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜c，使得f（c）=f（a）=g（b）成立，正確，
k=4時(shí)，作函數(shù)f（x）=

1+lnx

x-1

，與g（x）=

k

x

（k∈N⁺）的圖象如下，

k=4，不正確，
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生的作圖能力，屬于難題．