Question

方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一個實數(shù)根的充要條件是________．

Answer 1

分析：先將已知方程等價變形，得到x大于0且有方程a=成立，討論右邊的二次函數(shù)最值，得到，從而得到充要條件為．再進行正反論證，說明充分性和必要性都成立．
解答：方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）等價于lg（x-a）=lg
即：?…（*）
而F（x）=在（0，+∞）的最大值為F（）=
∴F（x）的值域為（-∞，]
接下來討論充分性和必要性
①充分性：若方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一個實數(shù)根，說明（*）式至少有一個實數(shù)解
∴a應該落在F（x）=在（0，+∞）的值域范圍內，可得
②必要性：若，說明a∈（-∞，]，落在F（x）=在（0，+∞）的值域范圍內，
∴（*）式至少有一個實數(shù)解，從而方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一個實數(shù)根．
綜上所述，方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一個實數(shù)根的充要條件是
故答案為：
點評：本題以含有對數(shù)的方程為載體，考查了必要條件、充分條件與充要條件的判斷和根的存在性及根的個數(shù)判斷等知識點，屬于中檔題．