Question

17．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f'（x）-f（x）＞1，且f（0）=3，則不等式f（x）＞4e^x-1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（0，+∞）．

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=e^-xf（x）+e^-x，利用導數(shù)性質(zhì)得y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，從而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞4•e^x-1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集

解答 解：設(shè)g（x）=e^-xf（x）+e^-x，
則g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）-e^-x=e^-x[f'（x）-f（x）-1]，
∵f（x）-f′（x）＞1，∴f（x）-f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，g（0）=4，
∵f（x）＞4•e^x-1，∴e^-xf（x）＞4-e^-x，得到g（x）＞4=g（0），
∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，
∴f（x）＞4•e^x-1（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）的解集為（0，+∞）．
故答案為：（0，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的解集的求法；關(guān)鍵是利用已知條件適當構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集．