如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）寫(xiě)出與橢圓C1相似且半短軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程，并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)（不需證明）；
（3）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．
分析：（1）根據(jù)橢圓中基本量a、b、c的平方關(guān)系結(jié)合題中數(shù)據(jù)，求出橢圓C1的特征的特征三角形是腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為
3
的等腰三角形，C1橢圓C2的特征的特征三角形是腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為2
3
的等腰三角形，不難得出兩個(gè)橢圓是相似比為2的兩個(gè)橢圓；
（2）類比相似三角形的性質(zhì)和中心在原點(diǎn)的橢圓的幾何特征，可得到①橢圓的面積比的性質(zhì)；②橢圓中的相似四邊形；③兩個(gè)橢圓公共的割線得到弦的中點(diǎn)重合等幾個(gè)特征；
（3）先假設(shè)存在滿足條件的兩點(diǎn)M、N，得到由直線l與已知橢圓聯(lián)列，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合垂直平分的條件，可求得MN中點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合這個(gè)中點(diǎn)在直線y=x+1上，得到存在直線y=-x-
5
3
，找到符合題的M、N．最后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式：|MN|=
1+k2
|x1-x2 |，可得出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．
解答：解：（1）橢圓C2與C1相似．
因?yàn)镃2的特征三角形是腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為2
3
的等腰三角形，
而橢圓C1的特征三角形是腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為
3
的等腰三角形，
因此兩個(gè)等腰三角形相似，且相似比為2：1．
根據(jù)題中兩個(gè)橢圓相似的定義可得：橢圓C2與C1相似．-------（4分）
（2）∵橢圓Cb與橢圓C1相似
∴橢圓Cb的長(zhǎng)軸是短軸的2倍
∵橢圓Cb的半短軸長(zhǎng)為b
∴橢圓Cb的方程為：
x2
4b2
+
y2
b2
=1(b＞0)．------------------------（7分）
由（1）可得兩個(gè)相似橢圓之間的性質(zhì)有：
①兩個(gè)相似橢圓的面積之比為相似比的平方；
②分別以兩個(gè)相似橢圓的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形也相似，相似比即為橢圓的相似比；
③兩個(gè)相似橢圓被同一條直線所截得的線段中點(diǎn)重合，過(guò)原點(diǎn)的直線截相似橢圓所得線段長(zhǎng)度之比恰為橢圓的相似比．----（10分）
（3）假定存在滿足條件的兩點(diǎn)M、N，則設(shè)M、N所在直線為y=-x+t，MN中點(diǎn)為（x0，y0）．
則
y=-x+t
x2
4b2
+
y2
b2
=1
⇒5x2-8tx+4（t2-b2）=0．-------------------（12分）
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），可得
x1+x2=
8t
5
x1•x2=
4(t2-b2) 
5

∴x0=
x1+x2
2
=
4t
5
，y0=-
4t
5
+t=
t
5

結(jié)合中點(diǎn)在直線y=x+1上，所以有t=-
5
3
．-------------（16分）
∵|x1-x2|=
(
40
3
)2-20(
100
9
-4b2)
5
=
4
5
5b2-
25
9

∴所求函數(shù)的解析式為：
f(b)=|MN|=
2
|x1-x2|=
4
5
10b2-
50
9
(b＞
5
3
)．-------------（18分）
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為例，考查了圓錐曲線的基本性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系和解析幾何與函數(shù)之間的聯(lián)系等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．解題過(guò)程中用到了“設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想，避免了繁的化簡(jiǎn)計(jì)算，請(qǐng)同學(xué)們加以注意．若不用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來(lái)解決，則容易因計(jì)算太繁而至錯(cuò)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1和C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）已知直線l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線l對(duì)稱，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P（2，1）作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于點(diǎn)A、B，直線AB與x軸交于點(diǎn)M，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
36
+
y2
20
=1的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A，F(xiàn)，右準(zhǔn)線為l，N為l上一點(diǎn)，且在x軸上方，AN與橢圓交于點(diǎn)M．
（1）若AM=MN，求證：AM⊥MF；
（2）過(guò)A，F(xiàn)，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，求PQ的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•深圳一模）如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，以橢圓C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
TM
•
TN
的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：|OR|•|OS|為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為A、F，右準(zhǔn)線為m．圓D：x2+y2+x-3y-2=0．
（1）若圓D過(guò)A、F兩點(diǎn)，求橢圓C的方程；
（2）若直線m上不存在點(diǎn)Q，使△AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍．
（3）在（1）的條件下，若直線m與x軸的交點(diǎn)為K，將直線l繞K順時(shí)針旋轉(zhuǎn)
π
4
得直線l，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，過(guò)P作圓D的兩條切線，切點(diǎn)分別為M、N，求弦長(zhǎng)MN的最小值．

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