Question

（本小題滿分13分）

如圖所示，橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)為 F(1,0)，且過點(diǎn)。

(1)求橢圓C的方程;

(2)已知A、B為橢圓上的點(diǎn)，且直線AB垂直于軸，  

直線：＝4與軸交于點(diǎn)N，直線AF與BN交

于點(diǎn)M。

(ⅰ)求證：點(diǎn)M恒在橢圓C上；

(ⅱ)求△AMN面積的最大值．

Answer 1

(1)解：由題設(shè)，從而，

所以橢圓C的方程為                    ………………………………3分

(2)(i)證明：由題意得F(1,0)、N(4,0)．

設(shè)，則，.

AF與BN的方程分別為：

.

設(shè)，則有

由上得                      ………………………………6分

由于

＝＝1.

所以點(diǎn)M恒在橢圓C上．                                 ………………………………8分

(ⅱ)解：設(shè)AM的方程為，代入，

得

設(shè)、，則有，.

＝＝. ………………………10分

令，則

＝

因?yàn)楹瘮?shù)在為增函數(shù)，

所以當(dāng)即時(shí)，函數(shù)有最小值4.

即時(shí),有最大值3，                   

△AMN的面積S_△AMN＝·有最大值 .        …………………13分