Question

已知函數f（x）=x³-3a|x-1|（a∈R）
（Ⅰ）當a=2時，求f（x）在區(qū)間x∈[0，]上的最值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x³-6|x-1|=，
∴，
令f′（x）＞0，得x＜1或，
令f′（x）＜0，得．
∵，
∴f（x）在[0，1]上單調遞增，在[1，]上單調遞減，在上單調遞增．
∵f（0）=-6，，
∴f（x）_min=-6．
∵f（1）=1-6+6=1，f（）==6-3＜1，
∴f（x）_max=1．
（2）∵f（x）=x³-3a|x-1|=，
∴，
分類討論如下：
①當a=0時，∵f′（x）=3x²≥0，
∴f（x）在實數集R上單調遞增；
②當a＞0時，
（i）當x＜1時，f′（x）=3x²+3a＞0，∴f（x）在（-∞，1）上遞增；
（ii）當x≥1時．令f′（x）=0，得或（舍），比較與1的大小，再分類如下：
當0＜a≤1時，∵f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上遞增；
當a＞1時，由f′（x）=3x²-3a＜0，得1＜x＜；由f′（x）=3x²-3a≥0，得，
∴f（x）在（1，）遞減，在上遞增．
③當a＜0時，
此時，當x≥1時，f′（x）=3x²-3a≥0，∴f（x）在（1，+∞）上遞增；
當x＜1時，令f′（x）=0，得或，
比較與1的大小，再分類討論如下：
（i）當，即-1＜a＜0時，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得，
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在和上單調遞增，在上單調遞減；
（ii）當，即a≤-1時，
由f′（x）=3x²+3a＞0，得，
由f′（x）＜0，得，
∴f（x）在上單調遞增，在上單調遞減．
綜上所述：
當a＞1時，f（x）在（-∞，1）上單調遞增，在（）遞減，在上遞增；
當0≤a＜1時，f（x）在R上單調遞增；
當-1＜a＜0時，f（x）在（）上單調遞增，在單調遞減，在（）單調遞增；
當a≤-1時，f（x）在上單調遞增，在（，1）上單調遞減，在（1，+∞）單調遞增．
分析：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x³-6|x-1|=，，令f′（x）＞0，得x＜1或，令f′（x）＜0，得．結合，能求出f（x）在區(qū)間x∈[0，]上的最值．
（2）由f（x）=x³-3a|x-1|=，知，分類討論能求出函數f（x）的單調區(qū)間．
點評：本題考查函數最值的求法和函數的單調區(qū)間的討論．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．易錯點是分類不清導致出錯．