Question

若函數(shù)f（x）=x²+a（x+lnx）的圖象都在第一象限，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：分類討論，a＜0時(shí)，由f（x）=x²+a（x+lnx）＞0得

1

a

＜-（

1

x

+

lnx

x2

），求出右邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最值，即可求常數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：a=0時(shí)，f（x）=x²，
∵x＞0，∴點(diǎn)（x，x²）在第一象限．
依題意，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0．
a＞0時(shí)，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，x∈（0，1）時(shí)，lnx∈（-∞，0），alnx∈（-∞，0），
從而“?x＞0，f（x）=x²+a（x+lnx）＞0”不成立
a＜0時(shí)，由f（x）=x²+a（x+lnx）＞0得

1

a

＜-（

1

x

+

lnx

x2

）
設(shè)g（x）=-（

1

x

+

lnx

x2

），g′（x）=

x-1

x3

+

2lnx

x3

x	（0，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘	極小值	↗

g（x）≥g（1）=-1，從而

1

a

＜-（

1

x

+

lnx

x2

）＜-1，
∴-1＜a＜0．
綜上所述，常數(shù)a的取值范圍-1＜a≤0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．