已知函數(shù)，且在時(shí)函數(shù)取得極值.

（1）求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若，

（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的上方；

（Ⅱ）證明不等式恒成立.

 

【答案】

（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先利用函數(shù)在處取得極值，由求出的值，進(jìn)而求出的解析式，解不等式，從而得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）（Ⅰ）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式在區(qū)間上成立，從而說明當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的上方；

（Ⅱ）由（Ⅰ）中的結(jié)論證明當(dāng)時(shí)，，由此得到，，，，結(jié)合累加法得到，再進(jìn)行放縮得到

，從而證明.

試題解析：（1），，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004213867348385/SYS201403200422353765483101_DA.files/image003.png">，

由于函數(shù)在處取得極值，則，

，

解不等式，得或，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和；

（2）（Ⅰ）構(gòu)造函數(shù)，其中，

，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則對任意，則，即，即，

即當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的上方；

（Ⅱ）先證當(dāng)時(shí)，，由（Ⅰ）知，當(dāng)且時(shí)，，

故有，

由于，，，，

上述個(gè)不等式相加得，即，

即，由于，

上述不等式兩邊同時(shí)乘以得.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的極值與單調(diào)區(qū)間；2.函數(shù)不等式的證明；3.累加法；4.數(shù)列不等式的證明.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的周期函數(shù)，周期為5，函數(shù)y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函數(shù)，又知y=f（x）在[0，1]上是一次函數(shù)，在[1，4]上是二次函數(shù)，且在x=2時(shí)函數(shù)取得最小值-5，
（1）求f（1）+f（4）的值；
（2）求y=f（x），x∈[1，4]上的解析式；
（3）求y=f（x）在[4，9]上的解析式，并求函數(shù)y=f（x）的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對任意的實(shí)數(shù)x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）f（x2），且f（x）≠0．
（Ⅰ）請寫出一個(gè)這樣的函數(shù)f（x）；
（Ⅱ）若f（x）滿足：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，猜想函數(shù)f（x）的性質(zhì)，并加以證明；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求滿足f（x+4）＞
1f(x)
的x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•大連二模）（I）已知函數(shù)f（x）=x-
1
x
，x∈(
1
4
，
1
2
)，P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))是f(x)圖象上的任意兩點(diǎn)，且x1＜x2．
①求直線PQ的斜率kPQ的取值范圍及f（x）圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的取值范圍；
②由①你得到的結(jié)論是：若函數(shù)f（x）在[a，b]上有導(dǎo)函數(shù)f′（x），且f（a）、f（b）存在，則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f′（ξ）=
f(b)-f(a)
b-a
f(b)-f(a)
b-a
成立（用a，b，f（a），f（b）表示，只寫出結(jié)論，不必證明）
（II）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g′（x），且g′（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，g（0）=0．試運(yùn)用你在②中得到的結(jié)論證明：
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（1）x＜g（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年青島市質(zhì)檢二文）已知函數(shù)在時(shí)取最小值，則函數(shù)是

A．奇函數(shù)且在時(shí)取得最大值       

B．偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對稱    

C．奇函數(shù)且在時(shí)取得最小值       

D．偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對稱

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