n支球隊(duì)要舉行主客場雙循環(huán)比賽(每兩支球隊(duì)比賽兩場,各有一場主場比賽),每支球隊(duì)在一周(從周日到周六的七天)內(nèi)可以進(jìn)行多場客場比賽.但如果某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽,在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽.如果4周內(nèi)能夠完成全部比賽,求n的最大值.
注:A、B兩隊(duì)在A方場地舉行的比賽,稱為A的主場比賽,B的客場比賽.

解:如圖所示:表格中有“*”,
表示該球隊(duì)在該周有主場比賽,不能出訪.
容易驗(yàn)證,按照表中的安排,6支球隊(duì)四周可以完成該項(xiàng)比賽.
下面證明7支球隊(duì)不能在四周
完成該項(xiàng)比賽.設(shè)Si(i=1,2,3,4,5,6,7)表示
i號(hào)球隊(duì)的主場比賽周次的集合.假設(shè)4周內(nèi)
能完成該項(xiàng)比賽,則Si是{1,2,3,4}的非空真子集.
一方面由于某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽,在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽,所以Si(i=1,2,3,4,5,6,7)中,沒有一個(gè)集是另一個(gè)的子集.
另一方面,設(shè)A=1,1,2,1,2,3,
B=2,2,3,2,3,4,
C=3,1,3,1,3,4
D=4,1,4,1,2,4,
E=2,4,
F=3,4由抽屜原理,一定存在i,j,i≠j,i,j∈{1,2,3,4,5},
Si,Sj屬于同一集合A或B或C或D或E或F,必有Si⊆Sj或Sj⊆Si發(fā)生.
∴n的最大值是6.
分析:由題意知,可以通過圖表更清楚的表示比賽的安排,從圖表可以驗(yàn)證出n=6,證明n不能是7,當(dāng)n是7時(shí),利用集合的觀點(diǎn)解釋,由于某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽,在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽,所以在球隊(duì)比賽周次中中,沒有一個(gè)集是另一個(gè)的子集.
點(diǎn)評(píng):這是一個(gè)比較難理解的問題,解題的關(guān)鍵是對(duì)于比賽的規(guī)則要理解清楚,這種題目若作為高考題是一個(gè)很大的突破,是一個(gè)考查理解和運(yùn)算能力的問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

7、n支球隊(duì)要舉行主客場雙循環(huán)比賽(每兩支球隊(duì)比賽兩場,各有一場主場比賽),每支球隊(duì)在一周(從周日到周六的七天)內(nèi)可以進(jìn)行多場客場比賽.但如果某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽,在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽.如果4周內(nèi)能夠完成全部比賽,求n的最大值.
注:A、B兩隊(duì)在A方場地舉行的比賽,稱為A的主場比賽,B的客場比賽.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

n支球隊(duì)要舉行主客場雙循環(huán)比賽(每兩支球隊(duì)比賽兩場,各有一場主場比賽),每支球隊(duì)在一周(從周日到周六的七天)內(nèi)可以進(jìn)行多場客場比賽.但如果某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽,在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽.如果4周內(nèi)能夠完成全部比賽,求n的最大值.
注:A、B兩隊(duì)在A方場地舉行的比賽,稱為A的主場比賽,B的客場比賽.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2004年第一屆中國東南地區(qū)高中數(shù)學(xué)奧林匹克試卷(解析版) 題型:解答題

n支球隊(duì)要舉行主客場雙循環(huán)比賽(每兩支球隊(duì)比賽兩場,各有一場主場比賽),每支球隊(duì)在一周(從周日到周六的七天)內(nèi)可以進(jìn)行多場客場比賽.但如果某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽,在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽.如果4周內(nèi)能夠完成全部比賽,求n的最大值.
注:A、B兩隊(duì)在A方場地舉行的比賽,稱為A的主場比賽,B的客場比賽.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

n支球隊(duì)要舉行主客場雙循環(huán)比賽(每兩支球隊(duì)比賽兩場,各有一場主場比賽),每支球隊(duì)在一周(從周日到周六的七天)內(nèi)可以進(jìn)行多場客場比賽。但如果某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽,在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽。如果4周內(nèi)能夠完成全部比賽,球n的最大值。

 

注:A、B兩隊(duì)在A方場地舉行的比賽,稱為A的主場比賽,B的客場比賽。

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