Question

n支球隊(duì)要舉行主客場雙循環(huán)比賽（每兩支球隊(duì)比賽兩場，各有一場主場比賽），每支球隊(duì)在一周（從周日到周六的七天）內(nèi)可以進(jìn)行多場客場比賽．但如果某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽，在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽．如果4周內(nèi)能夠完成全部比賽，求n的最大值．
注：A、B兩隊(duì)在A方場地舉行的比賽，稱為A的主場比賽，B的客場比賽．

Answer 1

解：如圖所示：表格中有“*”，
表示該球隊(duì)在該周有主場比賽，不能出訪．
容易驗(yàn)證，按照表中的安排，6支球隊(duì)四周可以完成該項(xiàng)比賽．
下面證明7支球隊(duì)不能在四周
完成該項(xiàng)比賽．設(shè)S_i（i=1，2，3，4，5，6，7）表示
i號(hào)球隊(duì)的主場比賽周次的集合．假設(shè)4周內(nèi)
能完成該項(xiàng)比賽，則S_i是{1，2，3，4}的非空真子集．
一方面由于某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽，在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽，所以S_i（i=1，2，3，4，5，6，7）中，沒有一個(gè)集是另一個(gè)的子集．
另一方面，設(shè)A=1，1，2，1，2，3，
B=2，2，3，2，3，4，
C=3，1，3，1，3，4
D=4，1，4，1，2，4，
E=2，4，
F=3，4由抽屜原理，一定存在i，j，i≠j，i，j∈{1，2，3，4，5}，
S_i，S_j屬于同一集合A或B或C或D或E或F，必有S_i⊆S_j或S_j⊆S_i發(fā)生．
∴n的最大值是6．
分析：由題意知，可以通過圖表更清楚的表示比賽的安排，從圖表可以驗(yàn)證出n=6，證明n不能是7，當(dāng)n是7時(shí)，利用集合的觀點(diǎn)解釋，由于某周內(nèi)該球隊(duì)有主場比賽，在這一周內(nèi)不能安排該球隊(duì)的客場比賽，所以在球隊(duì)比賽周次中中，沒有一個(gè)集是另一個(gè)的子集．
點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)比較難理解的問題，解題的關(guān)鍵是對(duì)于比賽的規(guī)則要理解清楚，這種題目若作為高考題是一個(gè)很大的突破，是一個(gè)考查理解和運(yùn)算能力的問題．