Question

為了檢測某批棉花的質(zhì)量，質(zhì)檢人員隨機抽取6根，其平均纖維長度為25mm．用X_n（n=1，2，3，4，5，6）表示第n根棉花的纖維長度，且前5根棉花的纖維長度如下表：

編號n	1	2	3	4	5
Xn	20	26	22	20	22

（1）求X₆及這6根棉花的標(biāo)準(zhǔn)差s；
（2）從這6根棉花中，隨機選取2根，求至少有1根的長度在區(qū)間（20，25）內(nèi)的概率．

Answer 1

解：（1）由題意，
6根纖維的平均長度為25mm，有（20+26+22+20+26+X₆）=25，X₆=40．
其方差s²=[（20-25）²+（26-25）²+（22-25）²+（20-25）²+（22-25）²+（40-25）²]=49，
則s=7．
（2）根據(jù)題意，記至少有1根的長度在區(qū)間（20，25）內(nèi)為事件A，則其對立事件為2根的長度都不在區(qū)間（20，25）內(nèi)；
從這6根棉花中，隨機選取2根用無序數(shù)組（X_i，X_j）（i，j=1，2，3，4，5，6，i≠j）表示，
可能出現(xiàn)的結(jié)果為（X₁，X₂），（X₁，X₃），（X₁，X₄），（X₁，X₅），（X₁，X₆），
（X₂，X₃），（X₂，X₄），（X₂，X₅），（X₂，X₆），（X₃，X₄），
（X₃，X₅），（X₃，X₆），（X₄，X₅），（X₄，X₆），（X₅，X₆），共15種；
2根的長度都不在區(qū)間（20，25）內(nèi)的情況為
（X₁，X₂），（X₁，X₄），（X₁，X₆），（X₂，X₄），（X₂，X₆），（X₄，X₆），有6種；
2根的長度都不在區(qū)間（20，25）內(nèi)概率P（）==，
至少有1根的長度在區(qū)間（20，25）內(nèi)的概率為P（A）=1-=．
分析：（（1）根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得=25，解可得X₆的值，由方差計算可得6個數(shù)據(jù)的方差s²，開方可得s；
（2）記至少有1根的長度在區(qū)間（20，25）內(nèi)為事件A，則其對立事件為2根的長度都不在區(qū)間（20，25）內(nèi)；由列舉法可得從這6根棉花中，隨機選取2根的情況，分析可得其可能情況數(shù)目與2根的長度都不在區(qū)間（20，25）內(nèi)的情況數(shù)目，由古典概型公式可得P（），由對立事件的性質(zhì)，可得P（A）．
點評：本題考查平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差、方差的計算與古典概型的計算，注意區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)差與方差的概念．