已知拋物線C：y=
14
x2在點(diǎn)A處的切線l與直線l'：y=x+1平行．
（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)和直線l的方程；
（2）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．
分析：（1）先設(shè)切線方程，聯(lián)立切線方程與拋物線方程，根據(jù)A為切點(diǎn)，方程只有一組解求出直線l的方程；進(jìn)而求出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先根據(jù)圓A的半徑r等于圓心A到的距離求出半徑即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)拋物線C：y=
1
4
x2在點(diǎn)A處的切線l的方程為：y=x+b    ①，
由
y=x+b
x2=4y
⇒x2-4x-4b=0．②
令△=42-4×（-4b）=0⇒b=-1，代入②得x=2，結(jié)合①得y=1
所以：A（2，1），直線l的方程為y=x-1．
（2）拋物線的準(zhǔn)線為y=-1，所以圓A的半徑r等于圓心A到的距離，即r=2．
所以圓A的方程為（x-2）2+（y-1）2=4．
點(diǎn)評：本題主要考察圓與圓錐曲線的綜合問題．解決第一問的關(guān)鍵在于設(shè)切線方程，聯(lián)立切線方程與拋物線方程，根據(jù)A為切點(diǎn)，方程只有一組解求出直線l的方程．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=ax2，點(diǎn)P（1，-1）在拋物線C上，過點(diǎn)P作斜率為k1、k2的兩條直線，分別交拋物線C于異于點(diǎn)P的兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），且滿足k1+k2=0．
（I）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（II）若點(diǎn)M滿足
BM
=
MA
，求點(diǎn)M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2上的點(diǎn)A（-1，2），直線l1過點(diǎn)A且與拋物線相切．直線l2：x=a（a＞-1）交拋物線于點(diǎn)B，交直線l1于點(diǎn)D，記△ABD的面積為S1，拋物線和直線l1，l2所圍成的圖形面積為S2，則S1：S2=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=（x+1）2與圓M：(x-1)2+(y-
12
)2=r2（r＞0）有一個公共點(diǎn)A，且在A處兩曲線的切線為同一直線l．
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）設(shè)m，n是異于l且與C及M都相切的兩條直線，m，n的交點(diǎn)為D，求D到l的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作軸的垂線交C于點(diǎn)N．  
（1）求三角形OAB面積的最小值；
（2）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；
（3）是否存在實數(shù)k使NANB，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•武漢模擬）已知拋物線C：y=
1
2
x2與直線l：y=kx-1沒有公共點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn)，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點(diǎn)．
（1）證明：直線AB恒過定點(diǎn)Q；
（2）若點(diǎn)P與（1）中的定點(diǎn)Q的連線交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，證明：
|PM|
|PN|
=
|QM|
|QN|
．

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