(2014·海淀模擬)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1,且E是BC中點.

(1)求證：A1B∥平面AEC1.

(2)求證：B1C⊥平面AEC1.

 

（1）見解析 （2）見解析

【解析】 (1)連接A1C交AC1于點O,連接EO,

因為ACC1A1為正方形,所以O為A1C中點.

又E為CB中點,所以EO為△A1BC的中位線,

所以EO∥A1B.

又EO?平面AEC1,A1B?平面AEC1,

所以A1B∥平面AEC1.

(2)因為AB=AC,又E為CB中點,

所以AE⊥BC,

又因為在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

BB1⊥底面ABC,

又AE?底面ABC,所以AE⊥BB1,

又因為BB1∩BC=B,所以AE⊥平面BCC1B1,

又B1C?平面BCC1B1,

所以AE⊥B1C.

在矩形BCC1B1中,

tan∠BCB1=tan∠EC1C=,

所以∠BCB1=∠EC1C,

所以∠BCB1+∠CEC1=90°,

即B1C⊥EC1.

又AE∩EC1=E,所以B1C⊥平面AEC1.

 

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