Question

已知函數(shù)f(x)＝log₄(4^x＋1)＋kx(k∈R)是偶函數(shù)．
(1)求k的值；
(2)設(shè)g(x)＝log₄，若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）k＝－.（2）{－3}∪(1，＋∞)．

(1)由函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，可知f(x)＝f(－x)，
∴l(xiāng)og₄(4^x＋1)＋kx＝log₄(4^－x＋1)－kx.
log₄＝－2kx，即x＝－2kx對一切x∈R恒成立，∴k＝－.
(2)函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，即方程log₄(4^x＋1)－x＝log₄有且只有一個(gè)實(shí)根，化簡得方程2^x＋＝a·2^x－a有且只有一個(gè)實(shí)根．令t＝2^x>0，則方程(a－1)t²－at－1＝0有且只有一個(gè)正根．
①a＝1?t＝－，不合題意；②a≠1時(shí)，Δ＝0?a＝或－3.若a＝?t＝－2，不合題意，若a＝－3?t＝；③a≠1時(shí)，Δ>0，一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根，即<0?a>1.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{－3}∪(1，＋∞)．