Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．

(1)若f(x)定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；

(2)若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ； （2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是； （3）.

【解析】

(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，所以ax2＋2x＋3＞0對(duì)任意x∈R恒成立．

顯然a＝0時(shí)不合題意，從而必有 解之即可.

(2)由f(1)＝1，可得f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．求出定義域，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f(x)的最小值為0，則h(x)＝ax2＋2x＋3應(yīng)有最小值1，由此可求a的值.

(1)因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽，所以ax2＋2x＋3＞0對(duì)任意x∈R恒成立．

顯然a＝0時(shí)不合題意，從而必有即

解得a＞.

即a的取值范圍是.

(2)因?yàn)閒(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，這時(shí)f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．

由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函數(shù)定義域?yàn)?－1,3)．

令g(x)＝－x2＋2x＋3,則g(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減．又y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)．

(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f(x)的最小值為0，則h(x)＝ax2＋2x＋3應(yīng)有最小值1，

因此應(yīng)有解得a＝.

故存在實(shí)數(shù)a＝使f(x)的最小值為0.