Question

已知函數(shù)f（x）=2asinx•cosx+2cos²x+1，f（

π

6

）=4，
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在x∈[-

π

4

，

π

4

]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=asin2x+cos2x+2，可得f（

π

6

）=

3

2

a+

1

2

+2=4，即可解得a的值．
（2）由（1）可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）由x∈[-

π

4

，

π

4

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，從而解得函數(shù)f（x）在x∈[-

π

4

，

π

4

]的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2asinx•cosx+2cos²x+1=asin2x+cos2x+2
∵f（

π

6

）=asin

π

3

+cos

π

3

+2=

3

2

a+

1

2

+2=4，
∴解得：a=

3

．
（2）∵由（1）可得：f（x）=

3

sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
（3）∵x∈[-

π

4

，

π

4

]，
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2∈[2-

3

，2]，
∴函數(shù)f（x）在x∈[-

π

4

，

π

4

]的值域是[2-

3

，2]．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．