Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|2x-m|+m．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集為{x|-1≤x≤3}，求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求使f（x）≤a-f（-x）有解的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）不等式f（x）≤6等價(jià)于|2x-m|+m≤6，即|2x-m|≤6-m．
∴m-6≤2x-m≤6-m
∴m-3≤x≤3
∵不等式f（x）≤6的解集為{x|-1≤x≤3}，
∴m-3=-1，
∴m=2；
（Ⅱ）與（Ⅰ）知，f（x）=|2x-2|+2，令g（x）=f（x）+f（-x）
則g（x）=|2x-2|+|2x+2|+4=
∵x≤-1時(shí)，4-4x≥8；x＞1時(shí)，4+4x＞8
∴g（x）的最小值為8
∴使f（x）≤a-f（-x）有解的實(shí)數(shù)a的取值范圍[8，+∞）．
分析：（Ⅰ）不等式f（x）≤6等價(jià)于|2x-m|+m≤6，即|2x-m|≤6-m，利用不等式f（x）≤6的解集為{x|-1≤x≤3}，即可求實(shí)數(shù)m的值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+f（-x），確定其最小值，即可求得使f（x）≤a-f（-x）有解的實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)，考查解絕對(duì)值不等式，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的最小值，屬于中檔題．